Теория броуновского движения в форме Гамильтона–Якоби

В настоящее время известны три основных подхода к описанию броуновского движения классической частицы. Первый подход – феноменологический, основу которого заложил Эйнштейн в своей основополагающей работе по теории броуновского движения. Затем, Ланжевен предложил физически более обоснованный подход, основанный на рассмотрении движения частицы в вязкой среде под действием случайной силы теплового происхождения. Третий подход является математическим формализмом, основанным на стохастических вычислениях, развитых Ито и Стратоновичем. Используя эти подходы, выведено основополагающее уравнение теории броуновского движения – уравнение Фоккера–Планка, а также его редуцированная форма – уравнение Смолуховского.

В основе подхода Ланжевена лежит гамильтонова (лагранжевая) формулировка классической механики. Вместе с тем, как известно, существует другая формулировка классической механики в форме Гамильтона–Якоби, которая уже в своей основе является статистической, т.к., фактически, оперирует ансамблем одинаковых систем. В связи с этим возникает вопрос: можно ли сформулировать теорию броуновского движения, используя теорию Гамильтона–Якоби в обобщенном смысле, как теорию статистического ансамбля?

С появлением квантовой механики возник естественный вопрос: как обобщить теорию броуновского движения на квантовые объекты. Трудность теории квантового броуновского движения связана, в первую очередь с тем, что согласно общепринятой интерпретации квантовой механики, поведение квантовых объектов уже по своей природе (даже без взаимодействия с термостатом) является случайным, что выражается в вероятностной интерпретации волновой функции. Взаимодействие квантовой частицы с термостатом приводит к дополнительной стохастизации ее движения. Таким образом, для квантовой броуновской частицы необходимо совместить внутреннюю (квантовую) случайность с вынужденной случайностью, привнесенной взаимодействием квантовой частицы с термостатом. Вторая трудность теории квантового броуновского движения связана с тем, что диссипативная динамика не может быть выведена из независящих от времени гамильтонианов и лагранжианов.

Многочисленные попытки решить задачу квантового броуновского движения показали, что единого решения она не имеет. В связи с этим существуют различные подходы к описанию броуновского движения квантовых частиц.

В квантовой механике при описании движения квантовой частицы используются два основных представления: представление Гейзенберга, которое является аналогом гамильтонова подхода в классической механике, и представление Шредингера, аналогом которого в классической механике является теория Гамильтона–Якоби. Соответственно этому в теории квантового броуновского движения также можно выделить два основных направления: одно из них основано на представлении Гейзенберга, а другое – на представлении Шредингера.

Большая часть теорий броуновского движения квантовых частиц основана на представлении Гейзенберга, и сводится к введению случайных сил, действующих на квантовую частицу.

Вместе с тем, запись кинетических уравнений в различных формах уравнения Шредингера позволяет сразу рассматривать статистический ансамбль без промежуточной стадии в форме Гейзенберга (Гамильтона). Введение случайных сил в уравнение Шредингера является непоследовательным, т.к. волновая функция, согласно общепринятой интерпретации, описывает статистические свойства квантовой частицы, но под действием тепловых флуктуаций она сама становится случайной функцией. В связи с этим при описании броуновского движения квантовой частицы представляется логичным сохранить вероятностный смысл волновой функции и описывать ею не только собственную случайность, присущую квантовым объектам, но и случайность, связанную с тепловым воздействием.

В статье заведующего лабораторией термогазодинамики и горения С.А. Рашковского впервые построена теория Гамильтона–Якоби в обобщенном смысле, для классической частицы, взаимодействующей с термостатом. Показано, что такая формулировка теории броуновского движения естественным образом приводит к уравнению Смолуховского и позволяет легко получить следующие его приближения. Предложенный подход развит для экстенсивной и неэкстенсивной статистик. Используя развитую теорию Гамильтона–Якоби для классической частицы, предложен общий метод построения уравнений теории броуновского движения квантовых частиц для экстенсивной и неэкстенсивной статистик. Для квантовых частиц, взаимодействующих с термостатом, получены нелинейные уравнения Шредингера, которые играют роль квантовых вариантов уравнения Смолуховского. В качестве примера, используя полученные нелинейные уравнения Шредингера, рассмотрена термостатистика линейного квантового осциллятора и термостатистика квантовой частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. Полученное решение для квантового линейного осциллятора сравнивается с известным распределением Блоха. Показано, что полученные уравнения броуновского движения (как классической, так и квантовой частицы) могут быть получены из вариационного принципа, который объединяет в себе одновременно два базовых вариационных принципа физики: принцип наименьшего действия в механике и принцип максимума энтропии в термодинамике.

Проведенные исследования показали, что формулировка теории броуновского движения в форме Гамильтона–Якоби является естественной, и позволяет получить многие известные результаты, минуя промежуточные стадии, которые возникают в обычной «гамильтоновой» формулировке теории броуновского движения.

• 
  Сравнение коэффициентов в распределении Блоха (верхняя кривая th)
  и в предлагаемой модели (кривая α) для гармонического квантового
  осциллятора, взаимодействующего с термостатом.
  Отличия наблюдаются при низких температурах.
• 
  Нормализованные функции распределения для квантовой
  частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме,
  контактирующей с термостатом, для разных безразмерных температур τ,
  полученные в рамках предлагаемой теории.
  Виден переход (декогеренция) от квантовой системы при низких температурах
  к классической системе при высоких температурах.
  Показан только один период 0≤x≤L/n.

См. также:

• S.A. Rashkovskiy. Theory of Brownian motion in the Hamilton–Jacobi form. Physics of Fluids. 2025. V. 37. No. 3. Paper# 037199. DOI: 10.1063/5.0261126

Информация на апрель 2025 г.